- STRONA GŁÓWNA
- MAPA PORTALU
- KALENDARZ
- O PORTALU
- WYKRESownik Edytor wzorów TeXa
Zad. 1. Czy każdy punkt każdego trójkąta ma sumę odległości od wszystkich wierzchołków mniejszą od połowy obwodu trójkąta? Uzasadnij!
Zad. 2. Ile jest par (x, y) liczb całkowitych ze zbioru {-2013, -2012, -2011, ..., 2012, 2013}, dla których [tex]x=\sqrt{x+y}[/tex]?
Zad. 3. Komputer losuje mniejszą od 2013 liczbę całkowitą dodatnią. Po ilu ruchach można mieć gwarancję, że się ją pozna, jeśli ruch polega na podaniu liczby, a komputer odpowiada, czy jest ona mniejsza, czy większa od szukanej, czy też jej równa?
Wyniki:
Zadania marcowe okazały się trudne, część Ligowiczów argumentowała błędnie lub nieprecyzyjnie. Po 3 pkt przyznaliśmy jedynie Darii Bumażnik, Bartoszowi Czyżewskiemu i Klaudii Marcinkiewicz, a 2,5 pkt dostał Michał Turniak.
Na czele rankingu są zatem:
- z 16,5 pkt na 18 możliwych - Bartosz Czyżewski z Gim. w ZSO nr 1 w Jeleniej Górze i Michał Turniak z Gim. 49 we Wrocławiu,
- z 15 pkt - Igor Chełstowski z Gim. Dwujęzycznego przy I LO w Inowrocławiu,
- z 14 pkt - Tomasz Stempniak z Zespołu Szkół s. Salezjanek w Ostrowie Wlkp.,
- z 13,5 pkt - Daria Bumażnik z Gim. 1 w Jeleniej Górze i Klaudia Marcinkiewicz z Gim. 24 w Katowicach,
- z 11,5 pkt - Krzysztof Bednarek z Gim. 13 we Wrocławiu oraz Wojciech Wiśniewski z Gim. 3 w Giżycku.
Wszystkim gratulujemy!
Odpowiedzi:
Zad. 1. Nie - łatwo to sprawdzić, rozpatrując wierzchołek lub środek ciężkości trójkąta równobocznego (suma odległości wynosi wówczas odpowiednio 2a lub a√3 (gdzie a to długość boku), czyli w obu wypadkach więcej niż połowa obwodu).
Zad. 2. Z postaci równania widać, że x i x+y muszą być nieujemne. Przy takich założeniach mamy równanie równoważne: y=x(x–1), czyli rozwiązań jest tyle, ile spośród iloczynów 0·(-1), 1·0, 2·1, 3·2, ..., 2013·2012 jest w danym zbiorze. (x+y jest wówczas nieujemne "automatycznie"). 45·44 < 2013 < 46·45, więc odpowiedzią jest 46.
Zad. 3. W jednym ruchu można ustalić jedną z trzech kolejnych liczb (pytając o środkową), zatem w dwóch ruchach - jedną z siedmiu (po zapytaniu o środkową albo trafimy, albo zostajemy przy trzech możliwych, co załatwiamy kolejnym pytaniem), w trzech rundach - jedną z 15 itd. W dziewięciu pytaniach da się ustalić jedną z 1023 liczb, a w dziesięciu - jedną z 2047, odpowiedzią jest zatem 10 (ściślej: 10 lub więcej).
Brak zgody
Nie zgadzam sie z odpowiedzią do zadania 2. Przecież x może być liczbą ujemną, ponieważ (-2)2 wynosi 4. Zatem pierwiastek kwadratowy z 4 to zarówno 2 jak i (-2), więc rozwiązań będzie 90.
Pierwiastki parzystych stopni
Matematycy umówili się (można powiedzieć, że dla wygody), że pierwiastkiem kwadratowym z danej liczby jest taka liczba NIEUJEMNA, której kwadrat daje daną. (Podobnie jest z pierwiastkami dowolnych stopni parzystych). Zatem pierwiastek arytmetyczny z 4 to zawsze 2. Natomiast w algebrze, gdy rozwiązujemy równanie x2=4, podajemy oba pierwiastki tego równania, czyli √4 i (-√4), co daje liczby 2 i (-2).