| więcej informacji o tekście: |
2010-10-29
|
Rysunek utworzono za pomocą programu C.a.R.
Można przesuwać 'wypełnione' punkty. |
Wydaje się, że:
Dokładniej:
to obwód g < obwód f .
To stwierdzenie nie jest prawdziwe,
bowiem...
Zobacz, jak bardzo można zwiększyć obwód figury - zwiększaj liczbę 'zębów' na poniższym rysunku.
Błąd polegał na tym, że mówiąc o figurach, mamy zazwyczaj na myśli figury wypukłe.
A dla figur wypukłych zachodzi
TWIERDZENIE 1.
Jeśli figura wypukła g jest zawarta we wnętrzu figury f ,
to obwód g < obwód f .
Ograniczone figury wypukłe można przybliżać wielokątami (co można sprecyzować metodami wyższej matematyki). Dlatego dalej ograniczymy nasze rozważania tylko do wielokątów.
TWIERDZENIE 1'.
Niech g i f będą wielokątami wypukłymi.
Jeśli g jest zawarty w f ,
to obwód g < obwód f .
Jak udowodnić to twierdzenie?
Wydaje się, że można tak
We wnętrzu wielokąta g obieramy dowolny punkt O. Półproste poprowadzone z O i przechodzące przez wierzchołki g, dzielą brzeg f na fragmenty, odpowiadające bokom g.
Wydaje się, że:
- fragment obwodu f jest niekrótszy od
'cięciwy', która go wyznacza
(nierówność trójkąta)
- 'cięciwa' jest niekrótsza od
boku g, który ją wyznacza.
Jednak to ostatnie stwierdzenie nie jest prawdziwe.
Przesuwając np. punkt B,
można znaleźć takie położenie, przy którym A'B' < AB.
Jak więc udowodnić twierdzenie 1'?
Można tak,
Półproste prostopadłe do boków g dzielą brzeg f na fragmenty niekrótsze od boków im odpowiadających.
To nie jedyny pomysł na dowód.
Można również tak,
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
